기초 통계학 - 확률(1)

확률(Probability)

표본공간에서 특정 사건이 발생할 가능성이 얼마나 되는지를 나타내는 수치적 척도

 

 

1) 확률이 발생하는 상황에서의 공통점?

상황1. 주사위 던진기

상황2. 앞면이 나올 때까지 동전 던지

상황3. 구매 한 스마트폰의 수명

 

각 상황에서 알 수 있는 것은 어떤 결과가 나올지 알 수 있다. 하지만 실험을 하기 전까지 그 결과 중 어떤 결과가 나올지 알 수 없다.

즉, 결과 리스트는 알지만 어떤 결과가 나올지 모르는 조건을 만족하는 실험을 확률실험(random experiment)이라 한다.

 

 

 

2) 표본공간과 사건

표본공간(오메가) : 확률 실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집함

 

사건(event) : 표본공간 내에서 관심 있는 부분집함

상황1. -> 6이 나오는 경우

상황2. -> 앞면이 나오는 경우

상황3. -> 수명이 1년 이내인 경우

 

+ 동음이의어 확률의 의미

확률(Probability) vs 확률(random)

Probability : 0 ~ 1

random : 무작위

 

 

 

3) 서로배반사건(disjoint)

사건 A와 사건 B가 겹치지는게 전혀 없는 경우

 

 

 

4) 확률에 대한 이해

 

4-1) 고전적 확률

표본공간이 n개의 원소로 이루어져 있고 각 근원사건의 발생가능성이 동일(equally likely)한 경우, k개의 원소를 가지는 사건 A의 확률

P(A) = k/n

 

4-2) 경우의 수

확률을 계산하기 위해서 표본공간과 사건에 있는 원소의 개수를 효율적으로 계산하는 것이 중요!

 

경우의 수의 기본 법칙은 곱의 법칙

 

+ 곱의법칙

세트 메뉴 구성하는 방법(메인 3, 서브 3, 디저트 3개가 있을때 나올 수 있는 세트 메뉴 조합은 3*3*3 = 27가지)

 

+ 추출방법과 순열, 조합

복원 추출 : 추출한 값을 다시 뽑을 수 있음

비복원 추출 : 추출한 값을 제외하고 나머지에서 이어서 추출

 

 

 

++ Birthday problem

365일 동안 태어날 가능성이 동일하고 그룹A에 k명이 있을때....

그룹 A 구성원의 생일의 경우의수 중복순열(복원)

그룹 A구성원의 생일이 겹치지 않을 경우 -> 순열

그룹 A의 구성원수에 따른 겹치지 않을 확률

 

 

 

5) 상대도수의 극한 개념

실험을 무수히 많이 하게되면 하나의 값으로 수렴하는데 이것을 확률로 보자라는 개념

 

상대도수의 극한으로써의 확률은 많은 표본을 통해 모집단의 특성을 파악하는 방식을 따른다 해서 통계적 확률이라한다

Ex)기상예측, 전쟁 시뮬레이션 등...

 

 

6) 공리적 확률

3가지 공리로 모든 확률이 표현이 가능하다.

 

 

7) 조건부 확률

조건이 들어오면서 표본 공간이 줄어든 상태에서 사건의 확률

 

조건 A가 있을때 B의 확률

P(B|A) => Probability of event B given event A

 

Ex) 전체 인구중 40대의 사망률? -> 조건부확률

 

 

+ 조건부 확률의 응용